Buenas, aquí un cartagenero, aunque Dr.feelgood te ha hecho un resumen muy bueno, aporto mi granito.
En cuanto a Cartagena ciudad, la zona centro es donde se concentra la mayor zona turística de la ciudad, dominada prácticamente por la época historia de la ciudad con sus 3000 años de historia, te recomiendo que visites la web
https://www.cartagenapuertodeculturas.com/ para mas información de horarios y oferta.
Donde te han recomendado comer (techos bajos o la cofradía...) son sitios espectaculares, aunque algo caros, ya que es todo pescado y marisco, yo el caldero me lo tomaría en Portman o Cabo de Palos, con reserva. Pero yo te recomendaría ir de cañas y tapas, en la zona centro, casi todos los sitios funcionan de la misma manera, por 1,80 - 2,5€ te dan caña y tapa de muy buena calidad, y todo por el mismo conjunto histórico, ir visitando y tomando tentempiés es un plan perfecto, La Fuente o la Uva Jumillana como sitios estrella en la Calle Jara, que por muy poco comes de PM y variado.
De lo visitable yo destacaría el teatro romano, el castillo de la concepción, el barco turístico si hace buena mar y día, el foro romano, el edificio de ayuntamiento en visita guiada, es modernista y muy bonito por 1 € creo... hay muchas cosas
https://turismo.cartagena.es/itinerarios.asp
Fuera de la ciudad pero el el municipio y por estas fechas, Cabo de Palos, su puerto y el faro, y los acantilados que hay al lado del faro son una pasada. Y si vas domingo por la mañana está el mercadillo que le da mucha vida, Castillitos, la Azohia...