A mí me pasó lo mismo hace un par de años. El grifo de cocina tiene dentro un par de láminas metálicas muy finas que hacen contacto cuando lo abres y arrancan la bomba. Estas láminas están aisladas del circuito de agua por una junta tórica que con el uso y el tiempo pierde estanqueidad y dejan pasar algunas gotas de agua, por lo que finalmente se oxidan y llegan a pudrirse totalmente si se les deja el tiempo suficiente. Puedes intentar desmontar como te han dicho, sacar la junta tórica, limpiar las láminas si no están muy estropeadas (yo no pude) y volver a montar. Lo más difícil es ajustar de nuevo la junta tórica para que no vuelva a pasar el agua, así que mejor la pones nueva y le echas un poco de vaselina para que se mantenga mejor.
Esa es la reparación del manitas, a mí como las láminas se cayeron solas al desmontar el grifo por lo mal que estaban, me tocó cambiar el grifo completo estando de camping, y te aseguro que en La Marina después de comer, en verano y sin aire acondicionado en la caravana se suda muuuuuuuuuuuuuuucho para cambiar un grifo.